الاعداد المركبة

كم منا يعرف التحدث باكثر من لغه ؟ الرياضيات هي مجرد لغة لا اكثر ولا اقل تتعلم قاموس كلماتها وتتعلم قواعدها تقرأ القليل وببساطه تتعلمها . هذه اللغة فعاله وغنيه جدا

فهي بجملة واحده ( تسمى "معادله" ) وصف احداث طويله لو اردنا وصفها بلغتنا العربيه لاستغرق ذلك ملئ صفحات كامله بشروحات اما لغة الرياضيات فتختصر ذلك في سطر واحد .

الجميل في الرياضيات انك تستطيع بناء عالم باكمله على ورقتك هذا العالم يمكن ان يكون حقيقي او تخيلي . عمليا يوجد عالم كامل من الاعداد الخياليه وهي تدعى اعداد

مركبه لكي نتعرف عليها نعود لايام المدرسة الاعداديه او الثانويه عندما تعلمنا القوى والجذور تذكرون القوى ؟ فلنبدأ الان التحدث بلغة الرياضيات كلنا نعلم ان

رفع عدد معين لقوة يعني ضرب العدد في نفسه نفس عدة مرات حسب القوة فمتلا 2 بالقوة 3 هو 2 ضرب 2 ضرب 2 وذلك يساوي 8 . ايضا تعلمنا الجذور في نفس الفرصه –

العمليه العكسيه للقوة فالجذر الثالث لل-8 يكون العدد الذي اذا رفعناه للقوة الثالثه يعطينا 8 أي 2 .

وتوجد ايضا قوة تربيعيه وجذر تربيعي وهي الاكثر شهرة وانتشارا – ف-5 تربيع هي 5 ضرب 5 أي ….25

ولكن انتبهوا لهذه الفكره الجذر التربيعي لل-25 يمكن ان يكون 5+ او 5- . وحاصل ضرب هذين العددين بنفسيهما تعطي 25 لان عدد سالب ضرب عدد سالب يعطي عدد موجب.
وهنا …. سؤال…..
.
أي عدد يمكن ضربه بنفسه يعطي عدد سالب؟

نحن نعرف ان العدد السالب هو حاصل ضرب عدد موجب في عدد سالب ….

المدرسين في المدارس اصروا على انه لا يوجد شيء كهذا ولا يوجد لعدد سالب جذر تربيعي …. ولكن يبدو انه للاعداد السالبه توجد يوجد جذور تربيعيه .

ولهذا السبب اخترعوا الاعداد الخياليه : الجذر التربيعي لل -1 – معرف كمساوي للعدد

i
أي ان-
i * i = -1

نلاحظ اننا هنا بنينا عالم خيالي غير موجود بشكل فعلي في الواقع (هذا ما تعتقدونه لان كل مره

تشعلون فيها الضوء او تسبحون بالبركه او تستعملون الهاتف النقال هذا

العدد الخيالي يتحول "لحقيقي " جدا ) فهو غير موجود فقط في عقول الرياضيين ( من اراد ا

المعرفه اكثر عن تاريخ الاعداد الخياليه هناك كتاب لباول نهين )

( An Imaginary Tale – the Story of the squer root of -1

مثلا الجذر التربيعي لل-25- هو …
5i
يمكنكم فحص الاجابه والتاكد منها فعالم الاعداد التخيليه يعيش بسلام مع عالم الاعداد الحقيقيه

يعيشون معا كما نعيش نحن مع مخلوقات اخرى على هذه الارض وتحت

الماء في المحيط تعيش مخلوقات اخرى تعيش بطريقة مختلفه يتنفسون بطريقة مختلفه

ومخفيين عن الاعين اذا اردنا اكتشافها نبني جهاز غواصه على سبيل المثال

لتأخذنا لنرى كيف يبدو ذلك العالم .

مخلوق بحري-رااائع سبحان الله – نكمل

غواصة بشر داخل المحيط او اكفاريوم كبير من المخلوقات البحريه على اليابسه فهذا مثل وضع

عالم الاعداد التخيليه مع عالم الاعداد "الحقيقيه " – وكما نتحمس وننبهر

عندما نرى مخلوقات بحريه غريبه من حولنا الجمع بين عالمي الاعداد الحقيقيه والتخيليه يمكن

ان يعطي نتائج مذهله . في هذا الوضع يمكن انتاج هجين المركب من اعداد

حقيقيه واعداد خياليه معا .

سنقوم بذلك عبر محور الاعداد المحور الافقي-
(X)
سيكون للاعداد الحقيقيه

والمحور العمودي-
) Y(
للاعداد الخياليه .

ولاحظوا هنا كيف اننا نحصل في هذا العالم على اعداد مركبه التي تعتبر هجين للاعداد الحقيقيه والمركبه.

A: 3 + 2i
B: -4 + 5i
C: -5 – 4i
D: i

لكي نفهم الفركتل الهندسه الكسريه يجب ان نربط بين ثلاث: معادلات , رسوم بيانيه , واعداد

مركبه ساقوم بالربط بين هذه المواضيع الثلاثه ان شاء الله في موضوعي القادم وارجو لكم قراءه

ممتعه واخبروني ان اعجبكم الموضوع

الاعداد المركبه التي شرحناها

في الاعلى ونربط ذلك بموضوع الهندسه الكسريه والصور العجيبه التي نحصل عليها منها .

اتمنى ان يكون موضوعي السابق عن الاعداد المركبه علمكم القليل عنها ولكي نفهم اكثر ما

تحدثنا عنه سابقا .

راينا ان محور الاعداد المركبه الذي يحوي اعداد حقيقيه واعداد خياليه هو عباره عن محور ثنائي

الابعاد فيه: محور عامودي ومحور افقي فاذا نظرتم للحظه لشاشة حاسوبكم الشخصي فسترون

انه يمكن ان يعبر عن هيئة محاور

كهذه اذ يعبر عرض الشاشه سيكون محورX

و وارتفاع الشاشه سيكون محور Y

مع الاعداد المركبه ( هي مركبه لانها تحوي عدد خيالي وعدد حقيقي تذكروا تحدثنا عن ذلك

قبل ) ومكان محور X نعوض الاعداد الحقيقيه :1,2, ..1-,2- ,0….

وعلى محور Y نعوض الاعداد الخياليه
……, , 2i, 3i… -1i, -2i, -3i… 0…

حيث يكون ال-0 في مركز الشاشه فقط من اجل الراحه ليس اجباري .

يمكن القول الان اننا حصلنا على محور ثنائي الابعاد من طول وعرض او اعداد حقيقيه واعداد

خياليه – لكن اذا اردنا وصف شكل

ثلاثي الابعاد مثلا لناخذ القانون التالي:

a(n+1)= a(n) ^2 +c

هذه المعادله على الرغم من انها تبدو صعبه وغير مفهومه الا انه يمكننا ملاحظة وجود ثلاثة احرف :

C, n, a

:n : لهذا الحرف يمكن ادخال ارقام بترتيب معين من 0 الى …….
:a :هو مجرد اسم –مثل هلالي ورقيه ….- فهناك شئء اسمه a
لكل aيوجد n تابع له a1,a2,a3……an
C: هو عدد معين مركب – تخيلوه أي نقطه على شاشة حاسوبكم حسب هيئة المحاور التي
بنيناها سابقا .

هذا القانون جدا ذكي ومتطور ( ان صح هذا القول ) – فكل عدد يبني العدد الذي بعده . أي ان

هذه المعادله تصف متواليه من a(n)

الاعداد كل عدد يبني العدد الذي بعده
a(n+1(

فاذا اخذنا عدد معين a0

لنفرض انه يساوي 0 . قوموا الان بتربيع العدد واضيفوا له عدد مركب C

انتم اخترتموه .حصلتم على نتيجه معينه –
0 القوة 2 +c =c
a1 هذا الحد الاول تكون النتيجه C
العدد التالي في المتواليه هو : a2
c+ c بالتربيع = a2
التالي وهو سيكون هو العدد a3
–
– C + هذا كله بالتربيع..( Cبالتربيع +C)

– الان الرسم البياني للاعداد المركبه نركبه كما جاء في الصورة . ال 0 سيكون في مركز

الرسمه وكل بيكسل ( وحدة التي تصف نقطه )Picture Element في الصورة وهي اختصار ل-
–
فكل نقطه في هذه الصورة هي عباره عن عدد مركب
–
مختلف ولذلك لكل نقطه من هذه النقاط يمكن بناء مجموعة حدود متواليه a(n) كل نقطه هي عباره عن c
–
يمكن تعويض أي عدد على محور الاعداد المركبه أي عدد مركب مكان ال- C

ان قمنا بذلك اكتشفنا شيء رائع ومفاجيء اذ فجزء من هذه المتواليات يتوقف عند حد معين –

وبعدها نبدأ بالرجوع على النتيجه – هذه مجموعه مغلقه أي لها نهايه -وهذه الاعداد هي الاعداد

التابعه لمجموعة مندلبروت وهي تصبغ باللون الاسود في اغلب الاحيان.

والتي لن تكون لها نهايه وتلك ستكون –مجموعه مفتوحه ..c وسيكون هناك اعداد اخرى سنعوضها مكان

-كل لون يعبر عن عدد معين من الحدود في مجموعه مفتوحه كهذه –فاذا فكرنا في ذلك فان هذه

الصوره هي عباره عن رسم ثلاثي الابعاد المحور الافقي هو محور الاعداد الحقيقيه والمحور

العمودي هو محور الاعداد الخياليه واللون هو عدد الحدود في هذه المجموعه المفتوحه .

لكن السؤال يبقى كيف نعرف عدد حدود (اعضاء ) هذه المجموعه التي لا نهايه لها ؟

الطريقه بسيطة نختار معيار معين ونجمع عدد الحدود الموجوده في هذه المجموعه اللانهائيه التي

توافق المعيار الذي حددناه نحن (ولذلك سنحصل فقط على جزء من تلك المجموعه اللانهائيه )

نستمر حتى ……… يعجز حاسوبكم عن العد .

الان اكتشفت ان المعادلات اسهل بكثير من الكتابه ( ترى كيف في الماضي قبل اختراع

رموز الرياضيات كانوا يستحملون الكتابه )

نكمل كل نتيجه نحصل عليها تكون نقطه على محور الاعداد المركبه فكل بيكسل (أي نقطه ) على

شاشة حاسوبكم يعبر عن C عدد معين

تم تعويضه في معادلتنا.

. فبرنامج الحاسوب سيقوم باخذ كل بيكسل (نقطه ) ويقوم بتلوينه كما ذكرنا قبل وبذلك نحصل على هذه الصور رسومات .

هذه الرحله لانهائيه فنحن نستطيع ان نؤشر على جزء من هيئة المحاور ونقول انها الان هي بحجم

كل الشاشه –فنحن سنحصل على صورة هي تكبير للصورة السابقه ….. وهنا نكتشف شيء

جديد – ان هذه الحلول تحافظ على صورتها الاساسيه فكل مره يبدوا لنا كاننا نعود للصوره الاولى …….

ارجو انه بعد هذا الشرح توضح بعض الموضوع او الملامح الاساسيه للهندسه الكسريه وعلاقتها

بالاعداد المركبه والخياليه

كثير منا يتعلم عن الاعداد الخياليه والمركبه ولا يعرف عن اهميتها اليكم بعض المعلومات عنها –

تظهر الأعداد المركبة في دراسة الظواهر الفيزيائية بشكل غير متوقع

مثلا هناك العديد من المعادلات التفاضلية اللتي تمثل كيفية عمل الدارة

الكهربية أو الرفاص المضغوط كسيارة تمر فوق أحد المطبات يمكن تمثيل

حركة ممتص الصدمات بواسطة معادلة تفاضلية تحتوي علئ أعداد مركبة

في الفيزياء الكمية لا يمكن تحديد موقع ذرة بدقة بدون الأعداد المركبة

كارل فريدريك جاوس – هو من أسهم بدور كبير فى تطوير مفهوم الأعداد المركبة، التي ساعدت في

حساب الكثير من الظواهر الفيزيائية

والمعادلات الفيزيائية الرياضية

حركة دوران الكواكب ( دوائر تتحرك داخل دوائر اخر :

eit + eikt

في الهندسة :

إيجاد طول قطر الخماسي

لحل بعض التكاملات الحقيقية

لتبسيط متسلسلة فورير

لا يخفى على من درس الرياضيات أهمية الاعداد المركبة في الحساب و أذكر على سبيل المثال لا

الحصر :1- استنتاج قيم بعض التكاملات خاصة إذا كان مجال التكامل هو مجموعة الأعداد الحقيقية

كلها أو في بعض التكاملات لدوال مثلثيّة على مجال من 0 الى 2pi وهذا مهم

2- دراسة الأنظمة الديناميكية الدورية

3-استنتاج حلول بعض الحلول الحقيقية لمعادلات جبرية من الدرجة 3

ولكن الاهمية الكبيرة في اعتقادي تكمن في أن علم الأعداد المركبة يمثّل جســـر بين علمين

عظيمين هما : الجبر و الهندسة أي أنّ تقنيات الهندسة يمكن أن توظّف في الحسابات الجبرية

ولكن عن طريق الاعداد المركبة (لأن النقطة أو الشعاع في المستوي يمكن ان يترجمان إلى عدد

مركب و العكس صحيح ) كما أن الحسابات الجبرية يمكن أن تترجم إلى تحليلات هندسية وهذه

العلاقة مهمة جدا في تطوير الحساب و الهندسة معا.

اذا فهمت هذا فيمكن تصوّر تطبيقات الاعداد المركبة في الحياة العملية لأنّ الحساب

(معادلات :دالية,جبرية,تفاضلية…,تكاملية ….) يلعب الدور الجوهري في نمذجة ودراسة العديد من