الرياضيات الكلاسيكية والرياضيات المعاصرة فيصل

* الرياضيات الكلاسيكية (الهندسة الاقليدية) التي تقوم على المكان الحسي وهو مستوي درجة انحنائه 0
وتنسب الى العالم الرياضي إقليدس Euclide (306 ق-م 283 ق-م) وضع هذا الأخير ثلاثة مبادئ أساسية ومتميزة حيث لا يستقيم الاستدلال الرياضي ولا يصح بدونها وهي :
ا- البديهيات Axiomes أو الأوليات وهي قضايا بسيطة واضحة بذاتها تفرض نفسها على جميع العقول من غير برهان يعرفها إقليدس (البديهية هي القضية التي يبرهن بها لا عليها ) فهي قبلية وعامة ومطلقة مثل الكل أكبر من جزئه ،المساويان لثالث متساويان المثلث له ثلاثة أضلاع ..الخ مميزاتها فالبديهيات فطرية سابقة عن التجربة غير مكتسبة عامة لا تختص بعلم معين
ب- المسلمات Postulats وهي قضايا خاصة و أكثر تعقيدا استنتجها العقل وحولها الى مبادئ يعتمد عليها أثناء الاستدلال الرياضي ،مثل مسلمات إقليدس التالية – مجموع زوايا المثلث قائمتين180° – من نقطة خارج المستقيم يمر موازي واحد للخط الأصلي – المتوازيان لا يلتقيان مهما امتدا .الخط المستقيم هو أقصر الطرق بين نقطتين والمسلمات يمكن ان تتغير من برهان إلى آخر بخلاف البديهيات
ج- التعريفات Définitions التعريف هو توضيح معنى الشيء وإزالة الإبهام عنه حتى يصبح مفهوما عند من يجهل معناه – فالنقطة هي ما ليس له أبعاد- المستقيم ما له طول دون عرض ..المثلث شكل هندسي يتكون من ثلاثة أضلاع و ثلاثة زوايا.
إذن الرياضيات الكلاسيكية كما يتضح تميز بين البديهيات والمسلمات ، ونتائجها يقينية مطلقة ،وهذه

مناقشة/ لقد اعتقد إقليدس إن المكان مستوى وعلى أساس هذا الاعتقاد بنى نسقه الرياضي لكن الواقع يؤكد أن المكان كروي بحسب الكرة الأرضية هذا ما دفع بالبعض إلى التراجع عن مبادئ الرياضيات الكلاسيكية وظهرت ما يسمى بالرياضيات المعاصرة ، إضافة الى تراجعهم عن الحقيقة المطلقة وحلت محلها الحقيقة النسبية

*الرياضيات المعاصرة (الهندسة اللااقليدية)
يرى المعاصرون انه ليس من الضروري أن يقوم البرهان الرياضي على المكان الحسي ، وانما على تصور عقلي مجرد بحيث فيمكن للرياضي أن يفترض مقدمات ويستنتج منها قضايا لازمة عنها بالضرورة ، يسميها بوان كاري Poincaré بالمواضعات بشرط ان يخلو الاستدلال من التناقض ، فالصدق يقوم على الصلاحية المنطقية ، لا على الواقع و كل ذلك يندرج فيما يسمى بالنسق الأكسيومي Axiomatique . وكمثال عن الأنساق :
ا- هندسة لوباتشوفسكي Lobatchevski ( 1793- 1856) المكان مقعر Courbet درجة انحنائه اقل من 0 فاستنتج النسق التالي – من نقطة خارج المستقيم يمر عدد لانهائي من الخطوط الموازية للخط الأصلي – مجموع زوايا المثلث أقل من قائمتين 180°
ب- هندسة ريمـــــــان Reyman(1826 – 1866 )المكان كروي درجة انحنائه أكبرمن0 ، فاستنتج انه من نقطة خارج المستقيم لا يمر أي خط موازي للخط الأصلي – مجوع زوايا المثلث يساوي أكثر من قائمتين 108°
ان الرياضيات المعاصرة لا تميز بين البديهيات والمسلمات و التعريفات ،فهي شيئ واحد داخل النسق لأن الذي يهم الرياضي هو سلامة التحليل وخلوه من التناقض و أن تكون النتائج متطابقة مع المقدمات .و يرى المعاصرون أنه لا يوجد صدق مطلق بما فيه بديهيات إقليدس ، فما هو واضح كما يرى روبير بلانشي R.Blanchet لا يعني انه صحيح فيمكن للكل ان يساوي جزئه . لو أخذنا مجموعة الأعداد الطبيعية 1.2.3.4.5.6.7.8.9……+& ونأخذ جزء منها الأعداد الزوجية 2.4.6.8…….+& نلاحظ ان المجموعتين متساويتين في (&) ولا تكون الأولى اكبر الا إذا حددنا المجموعتين .

مناقشة/ التعديل الذي ادخل سمح بتطور الرياضيات وغزوها لجميع العلوم ،كما أصبحت تتميز بالصرامة المنطقية وتعدد العلاقات و الإبداع في طرق البرهنة غير ان رفض البديهيات ترتبت عليه أزمة حادة في الرياضيات عرفت بأزمة اليقين الرياضي كما نتائجها لا تنطبق مع الواقع الحسي المحدود هذا ما يعطي الاولوية للهندسة الاقليدية في المجال العملي

الخلاصة كل نسق يصح في مجاله ، -النسق الاقليدي صحيح في المستوي ، و نسق ريمان في الكروي ونسق لوباتشوفسكي في المقعر – وبالتالي فان تتعدد الأنساق في المنهج الرياضي لا يقلل من دقته لذلك تبقى الحقيقة الرياضية مثالا قويا في الدقة و الصرامة المنطقية واليقين ،فهي تعبر بالفعل أن أرقى مستويات التفكيــــــــــر